Marco teórico

El hombre, gracias a su naturaleza curiosa y razonable, ha acuñado métodos que exceden los límites del tanteo para explicar fenómenos más allá de la intuición. Las ecuaciones, por ejemplo, representan una actividad explicativa para la resolución de planteamientos matemáticos. 

Debido a su indiscutible vínculo con su área, las ecuaciones pueden ser analizadas con particularidad desde la postura del álgebra.

El álgebra, tan antigua como los números, surgió como método para efectuar cálculos y resolver problemas. Se ha desempeñado como tal desde la antigüedad, ubicando su génesis en la simple práctica de situaciones de crecimiento y sucesión. Esta rama de las matemáticas ha adquirido un carácter  pertinente desde los tiempos de Mesopotamia, Egipto, Grecia y finalmente pasando a la modernidad. 

Edad antigua

Las fuentes historiográficas apuntan que el origen de este amplio campo de estudio surgió durante el esplendor de las culturas babilónicas y egipcias, donde la forma lineal ax=b y la ecuación ax^2 + bx +c = 0 encabezaron la lista de avances matemáticos. Previo a este progreso, las matemáticas se encontraban resumidas en un solo concepto: aritmética

Tiempo después, con la introducción de la nueva representación simbólica, se originó el cambio de números por letras, ahora llamadas incógnitas. Esto constituyó un gran avance en las matemáticas: la transición de aritmética al álgebra. En este sentido, se puede considerar al álgebra como la evolución del aritmética, ahora de índole metodológico. 
La mayor contribución de la cultura babilónica yace en textos grabados en tablas de arcilla, las cuales han proporcionado abundante información sobre el sistema numérico y los métodos de cálculo que usaban. A partir de lo que se ha descifrado de sus escritos, se ha concluido que enfocaron su interés sobre los sistemas de ecuaciones lineales y las ecuaciones cuadráticas, dejando a un lado las ecuaciones lineales simples, por considerarlas muy elementales.

Papiro de Rhind

A la par que sus vecinos mesopotámicos, los egipcios brindaron sus conocimientos para sintetizar las ecuaciones que conocemos en la actualidad, esta vez plasmados en un papiro. El Papiro de Rhind y de Moscú contienen suficiente información acerca de casi todos los aspectos del álgebra para colocar a la cultura del Nilo como la pionera de las matemáticas algebraicas. No obstante, y contrastando con los babilonios, los planteamientos que se presentaban eran demasiado simples con una sola incógnita. 

Edad clásica

Desafortunadamente, en las culturas de esta época no se encuentra ninguna continuidad en el progreso matemático. En la cultura india, por ejemplo no existe algún tipo de formalismo teórico. Los primeros indicios matemáticos se calculan hacia los siglos VIII-VII a.C, centrándose en aplicaciones geométricas para la construcción de edificios religiosos. Los indios, además, destacaron con el correcto uso de los números negativos y la introducción del cero en el sistema decimal.
Los chinos, no muy alejados del reino hindú, alcanzaron su apogeo en el siglo XIII con los trabajos de Quin Jiushao, Li Ye, Yang Hui y Zhu Shi-jie que idearon un procedimiento para la resolución de ecuaciones de grado superior llamado método del elemento celeste. El desarrollo del álgebra en esta época es grandioso: sistemas de ecuaciones no lineales, uso del cero, triángulo de Pascal y coeficientes binomiales.
Finalmente, el último paso fue dado por los griegos, quienes sobresalen con la época del Álgebra Geométrica. Desgraciadamente para los helénicos, la escuela pitagórica solía negar cualquier explicación que no procediera de su mentor, Pitágoras, por lo que la introducción de las ecuaciones fue difícil de concebir y atrasó el avance.

Modernidad

Desde el inicio del siglo XVIII, la concepción de las matemáticas y el álgebra tomó un carácter más científico y analítico, abarcando aspectos económicos y sociales.
A resumidas cuentas, el desarrollo algebraico entre los siglos XVIII y XX se sintetizan en cuatro puntos clave.

• En 1799, Gauss resuelve y prueba por primera vez el teorema fundamental del Álgebra.
• En 1824, Abel prueba la insolubilidad por radicales de la ecuación de quinto grado. Más adelante, Felix Klein y otros logran resolverla mediante funciones modulares elípticas, dejando patente las limitaciones de las ecuaciones algebraicas, pero abriendo un nuevo campo. 
• En 1832, a los 20 años, y antes de morir en un duelo, deja impresos en unos manuscritos que tardarán en ser entendidos para llegar a conocer lo que hoy viene en llamarse la teoría de Galois. 
• Desarrollo de estructuras algebraicas alternativas, en particular las álgebras de Grassmann, las álgebras de Clifford, los cuaternios de Hamilton y las octavas de Graves ( u octoniones, también números de Cayley).