Solución de ecuaciones de segundo grado
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| El uso de las ecuaciones cuadráticas se encuentra ampliamente relacionado con el campo de la ingeniería, aplicado específicamente al cálculo de áreas y dimensiones estructurales. |
Tenemos certeza de esta forma:
Incluso se puede afirmar que el valor de a, b y c deben ser diferentes de 0 para que la ecuación funcione. No obstante, la mayor incógnita recae en el valor de "x". ¿Cómo se podría obtener el valor de la variable? Las matemáticas nos han proporcionado herramientas valiosas para resolver cualquier ecuación con esta estructura. Son tres las que más trascendencia han adquirido por su utilidad, por lo cual son explicadas a continuación.
Factorización
La factorización es el método más utilizado para resolver ecuaciones cuadráticas con la forma de un trinomio cuadrado no perfecto, lo cual es muy útil cuando este tipo de expresiones son las más abundantes en el campo del álgebra.
Hay que recordar que el término factor hace referencia a los elementos que conforman una multiplicación. En el caso de las ecuaciones, se alude a términos algebraicos que se multiplican entre sí para dar lugar a la expresión completa.
Esto significa que factorizar una expresión algebraica, consiste en transformarla de manera que se vea como una multiplicación de términos.
El nombre con el que mejor se conoce a este método es factorización por tanteo y uso de la propiedad del producto nulo, pues su aplicación nunca es exacta y es necesario atravesar un proceso de prueba y error para conseguir los términos numéricos correctos.
Hay que recordar que el término factor hace referencia a los elementos que conforman una multiplicación. En el caso de las ecuaciones, se alude a términos algebraicos que se multiplican entre sí para dar lugar a la expresión completa.
Esto significa que factorizar una expresión algebraica, consiste en transformarla de manera que se vea como una multiplicación de términos.
El nombre con el que mejor se conoce a este método es factorización por tanteo y uso de la propiedad del producto nulo, pues su aplicación nunca es exacta y es necesario atravesar un proceso de prueba y error para conseguir los términos numéricos correctos.
TCP (Trinomio Cuadrado Perfecto)
La solución de ecuaciones cuadráticas mediante TCP es bastante similar a la de la factorización por tanteo. Sin embargo, el proceso es más abreviado debido a la omisión del paso del tanteo. El TCP, como un producto notable, se encuentra estrechamente ligado a la factorización de binomios que, en el caso de este, son iguales y elevados al cuadrado.
El TCP es comúnmente representado mediante la forma
Fórmula general
La solución de ecuaciones cuadráticas mediante TCP es bastante similar a la de la factorización por tanteo. Sin embargo, el proceso es más abreviado debido a la omisión del paso del tanteo. El TCP, como un producto notable, se encuentra estrechamente ligado a la factorización de binomios que, en el caso de este, son iguales y elevados al cuadrado.
El TCP es comúnmente representado mediante la forma
(a+b)2=a2+2ab+b2
Dentro de esta forma se cumple que el cuadrado del primer término más el doble producto del primer término por el segundo más el cuadrado del segundo término, que termina en un TCP.
Para determinar la solución de una ecuación cuadrática con la forma de un TCP, es necesario utilizar este teorema sobre la expresión.
Por ejemplo, si se tuviese la ecuación
x^2+10x+25
Primero, es necesario comprobar que se trate de un TCP, pues en caso contrario, su factorización
como producto notable se vería obstaculizada. Para ello, se multiplican la raíces de los términos
de los extremos, y si el producto es el doble del término lineal, se trata de una ecuación con forma de TCP.
Posteriormente, se procede a acomodar las raíces del primer y tercer término entre paréntesis.
Finalmente, al tratarse de un TCP, se eleva el nuevo binomio al cuadrado, por lo que se obtiene:
(x+5)^2
22
No obstante, aún no se ha obtenido el resultado de la ecuación. Para ello, se reitera la propiedad del producto nulo, por lo que se hace la operación:
(x+5)=0
x+5=0
x=0-5
x=-5
Al poseer un único término, la solución de la ecuación sólo es una.
En matemáticas, se llama fórmula general a una fórmula que comprende un número muy grande de casos y de la que se pueden extraer otras fórmulas particulares.
En el caso de las ecuaciones cuadráticas, se habla de la fórmula que abarca todas las posibilidades de las ecuaciones con forma
ax2+bx+c=0
El método de fórmula general resulta más sencillo durante la práctica y abarca las soluciones que otros medios, como la factorización, obtendrían a través de una larga serie de tanteo.
La fórmula general para obtener los resultados de una ecuación cuadrática es:
x=−b±b2−4ac−−−−−−−√2atyuio
Donde lo valores conocidos del término cuadrático, lineal e independiente toman el lugar de a, b y c.
La utilidad de este medio radica en la sencilla sustitución de los coeficientes de cada término en la misma ecuación.
Ejemplo de resolución de ecuaciones cuadráticas con fórmula general:
Resolver x2+5x+6=0
1. Sustituir los coeficientes de la ecuación por las literales en la fórmula
x=−5±55
5565542−4(1)(6)−−−−−−−√52(1)tyuio
2. Efectuar las operaciones
x=−5±b2−24−−−−−−−√25-242tyuio
x=−5±b1−−−−−−−√12tyuio
x=−b 5±1
2
tyuio
2
tyuio
x=−b 6
2tyuio
2tyuio
X=3
x=−b 4
2tyuio
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