Representación de funciones de segundo grado

Como hemos dicho, el álgebra ha sido una vital herramienta para describir y explicar relaciones. En matemáticas, la relación entre dos variables que cambian al mismo tiempo se les conoce como funciones. Dentro de este ámbito existen las funciones lineales, cuadráticas, racionales, trigonométricas, logarítmicas…, en fin, una amplia gama de ejemplos que varían desde las correspondencias más simples hasta las más complejas. Las funciones lineales poseen diferentes métodos para representarse por sí solas, y ello no es exclusivo de este grupo, sino que se extiende a nuestro tópico central: las funciones cuadráticas o de segundo grado.

Representación de f(x)= 2x+1

Al hablar de estas nos referimos de forma general a todas aquellas que contienen la ecuación ax^2+bx+c, donde a, b y c son valores diferentes de 0.

No obstante, antes de abordar de tema central, es esencial conocer los aspectos en el mismo ámbito de sus hermanas lineales. Para ello, es necesario plantearse la pregunta ¿Cómo se representan las funciones lineales? Múltiples autores señalan que existen cuatro métodos fundamentales para expresar la verdad de una función: mediante una tabla de valores, dentro de la cual se obtienen directamente los datos que corresponden a ambos ejes; un conjunto de pares ordenados,  extraídos de una tabla de valores y acomodados como coordenadas en x y y; una , el método más preciso para escribir una función; o una gráfica, que explica globalmente el comportamiento de la relación y los valores de los ejes.

No es difícil deducir que en los dos primeros casos, la diferencia entre las expresiones lineales y cuadráticas es casi nula, pues la sustitución de valores no representa ningún problema. En cambio, obtener tanto la fórmula y la gráfica de una función de segundo grado es un proceso que rebasa los límites de la intuición natural.

Al observar la fórmula de las ecuaciones de primer grado, es posible encontrar una relación estrecha entre estas y sus sucesoras. La forma ax^2+bx+c de las ecuaciones cuadráticas mantienen la misma estructura que las lineales, sólo que se omite el término elevado al cuadrado. De esta manera, podemos interpretar las ecuaciones de segundo grado como expresiones algebraicas que entre otras características, contienen un término elevado al cuadrado, una variable y un término independiente.

Forma de una ecuación cuadrática

El último método es el más amplio, no sólo por tener diferencias más resaltadas, sino por ser el más práctico para explicar las funciones. Mientras en las funciones lineales se habla de la pendiente, la ordenada al origen y la recta algebraica, las cuadráticas incluyen el concepto de parábola.

Forma de una ecuación lineal

Es importante mencionar que si el valor de a en ax^2+bx+c  fuese negativo, la parábola apuntaría hacia abajo; en cambio, si fuese positiva, iría hacia arriba. No obstante, si se tratase de un valor nulo, es decir, cero, se formaría una recta, por lo que la función cuadrática dejaría de serlo.

Las parábolas, a su vez, poseen sus propios rasgos de identidad. En ellas encontramos los nuevos conceptos de vértice, puntos de corte al eje X y punto de corte al eje Y. En el primero se habla del punto más bajo de la parábola, como se muestra en el ejemplo. Este valor en el plano cartesiano es calculable gracias a la fórmula (-b)/2a, donde b es el valor de la variable y a el del término elevado.

Parábola de una ecuación cuadrática, donde el punto más bajo representa el vértice, los cortantes a X los puntos de corte al eje X y el punto en verde en el eje ordenado el punto de corte al eje Y.

En el segundo caso, el de los puntos de corte al eje X alude a dos valores de X mientras Y es cero. Mediante la fórmula general de las ecuaciones de segundo grado  ambos valores con rescatables.

Finalmente, el punto de corte al eje Y hace referencia al valor que Y adquiere cuando X es cero. Cuando el procedimiento pasa por la fórmula general, ambos casos resultan en el mismo resultado, por lo que se cumple con la condición de que “a cada valor de X corresponde uno único de Y”

Estos métodos presentan eficacia al generar una función cuadrática, y como se ha visto, muestran el contraste que existe con las relaciones más simples, como lo son las ecuaciones lineales.